Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
1.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n+1} \frac{1}{2 n}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informação relevante fornecida:
O n-ésimo termo é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{1}{2n}.
É uma série alternada (os sinais alternam devido ao fator (-1)^{n+1}).
O objetivo é decidir convergência (e, se possível, caracterizar se a convergência é absoluta ou condicional).
Passo 2
Uma observação útil (álgebra simples) é fatorar a constante 1/2 fora da soma:
Explicando: multiplicar cada termo por uma constante c resulta em toda a soma multiplicada por c. Aqui c=\tfrac{1}{2}. Isso significa que estudar a convergência da série dada é equivalente a estudar a convergência da série alternada clássica \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}.
Passo 3
Vou aplicar o teste das séries alternadas (teste de Leibniz). Vou enunciar o teste de forma clara:
Seja \{b_n\} uma sequência de termos positivos. Se
\{b_n\} é monótona não crescente (ou seja, b_{n+1}\le b_n para todo n),
\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = 0,
então a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} b_n converge.
Aqui, identificamos b_n=\dfrac{1}{2n} (os sinais ficam em (-1)^{n+1}).
Passo 4
Verificar a monotonicidade de b_n=\dfrac{1}{2n}.
Para n\ge1,
b_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)}<\frac{1}{2n}=b_n,
pois n+1>n implica \dfrac{1}{2(n+1)}<\dfrac{1}{2n}. Logo \{b_n\} é estritamente decrescente (portanto não crescente).
Passo 5
Verificar o limite de b_n:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0,
porque o denominador cresce sem limite e a fração tende a zero. Assim a segunda condição do teste de Leibniz também é satisfeita.
Passo 6
Pelo teste de Leibniz, como b_n=\dfrac{1}{2n} é decrescente e tende a zero, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}
converge. Mais precisamente, converge (pelo teste) — já sabemos que a série alternada clássica \sum (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} converge, então a nossa, que é \tfrac{1}{2} vezes essa, também converge.
Passo 7
Agora verificar se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Para isso, considere a série dos valores absolutos:
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica, conhecida por divergir. Posso lembrar a demonstração clássica por agrupamento rápida: para 2^k termos,
cada par ou bloco tem soma maior ou igual a \tfrac{1}{2}, e assim as somas parciais crescem sem limite quando k\to\infty. Portanto \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}=\infty, e multiplicando por \tfrac{1}{2} continua divergente:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\infty.
Logo a série dos valores absolutos diverge, isto é, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 8
Conclusão final combinando os resultados:
A série converge pelo teste de Leibniz (é convergente).
A série não converge absolutamente, pois a série dos valores absolutos diverge.
Portanto a convergência é condicional.