Determine se a série dada é convergente ou divergente.
20.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n}}{n!}
20.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informações importantes fornecidas:
- O termo geral é
. - Para todo
tem-se (todos os termos são positivos).
Passo 2
Escolha do método: como o termo envolve uma potência
no numerador e um fatorial
no denominador, o teste da razão (teste de d’Alembert) é natural e rápido — ele lida bem com fatoriais e potências. (Alternativa: reconhecer a expansão da exponencial
e comparar diretamente; vou mencionar isso depois como bônus.)
Passo 3
Enunciado do teste da razão (explicado de forma simples): para uma série de termos positivos
, calcule
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aquié o termo geral da série; como os termos são positivos, o teste se aplica diretamente.
Passo 4
Aplicando o teste da razão ao nosso termo
:
Agora calculamos o limite:
pois
e
.
Passo 5
Conclusão do teste: como
, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Logo a série é convergente. Força aí — a parte mais difícil foi reconhecer o teste; a conta é curtinha.
Passo 6
Lembrando a série de Taylor da exponencial:
Tomando
obtém-se
. Subtraindo o termo
(que é
) ficamos com
Resposta
A série converge (convergência absoluta).
Soma
Soma