Determine se a série dada é convergente ou divergente.
20.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n}}{n!}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informações importantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{2^{n}}{n!}.
  • Para todo n\ge 1 tem-se a_n>0 (todos os termos são positivos).

Passo 2

Escolha do método: como o termo envolve uma potência 2^{n} no numerador e um fatorial n! no denominador, o teste da razão (teste de d’Alembert) é natural e rápido — ele lida bem com fatoriais e potências. (Alternativa: reconhecer a expansão da exponencial e^x e comparar diretamente; vou mencionar isso depois como bônus.)

Passo 3

Enunciado do teste da razão (explicado de forma simples): para uma série de termos positivos \sum a_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui a_n é o termo geral da série; como os termos são positivos, o teste se aplica diretamente.

Passo 4

Aplicando o teste da razão ao nosso termo a_n=\dfrac{2^{n}}{n!}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^{n}}{n!}} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}} = \frac{2}{n+1}.
Agora calculamos o limite:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0,
pois n+1\to\infty e 2/(n+1)\to 0.

Passo 5

Conclusão do teste: como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Logo a série é convergente. Força aí — a parte mais difícil foi reconhecer o teste; a conta é curtinha.

Passo 6

Lembrando a série de Taylor da exponencial:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Tomando x=2 obtém-se \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!}=e^{2}. Subtraindo o termo n=0 (que é 1) ficamos com
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).
Soma =\;e^{2}-1

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