Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
3.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n+1} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{n!}
e pede que eu determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é (-1)^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!}.
  • A pergunta é uma classificação da convergência em uma das três categorias: absoluta, condicional ou divergente.

Passo 2

Vou explicar o que significam as três possibilidades (essa é a parte teórica que vou usar, bem mastigada).
  • Uma série \sum a_{n} é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_{n}| converge. Intuitivamente, se a soma dos “tamanhos” dos termos converge, então a soma original (mesmo com sinais) converge com folga.
  • Uma série é condicionalmente convergente se \sum a_{n} converge, mas \sum |a_{n}| diverge. Ou seja, a convergência depende do cancelamento dos sinais.
  • Se \sum a_{n} não converge, então a série é divergente.
No nosso caso, a_{n}=(-1)^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!}, então os módulos são
|a_{n}|=\frac{2^{n}}{n!}.
Vou testar a convergência da série absoluta \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!}. Se essa convergir, já basta para concluir que a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Apresento um teste muito apropriado aqui: o Teste da Razão (dado que temos fatoriais e potências).
Enunciado do Teste da Razão (forma usada): para uma série com termos positivos b_n, se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},
então
  • se L<1, a série \sum b_n converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso vou aplicar com b_n=\dfrac{2^{n}}{n!}.

Passo 4

Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{2^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^{n}}{n!}} = \frac{2^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}} = \frac{2}{n+1}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0.
Como 0<1, pelo Teste da Razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge. Portanto \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| converge e logo a série original é absolutamente convergente.

Passo 5

(Comentário extra, para fixar: uma verificação alternativa e muito direta.) Lembrando a série de Taylor da exponencial,
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
se tomo x=2 obtenho
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}.
Subtraindo o termo n=0 (que vale 1) vem
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1,
uma soma finita, confirmando que a série dos módulos converge. Isso bate com o resultado pelo Teste da Razão.

Passo 6

Conclusão lógica final: como \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge (por Teste da Razão ou porque soma e^{2}-1), a série original \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!} é absolutamente convergente. Sempre que uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente (não é condicional).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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