Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
3.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n+1} \frac{2^{n}}{n!}
3.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n+1} \frac{2^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é uma classificação da convergência em uma das três categorias: absoluta, condicional ou divergente.
Passo 2
Vou explicar o que significam as três possibilidades (essa é a parte teórica que vou usar, bem mastigada).
- Uma série
é absolutamente convergente se a série dos módulos converge. Intuitivamente, se a soma dos “tamanhos” dos termos converge, então a soma original (mesmo com sinais) converge com folga. - Uma série é condicionalmente convergente se
converge, mas diverge. Ou seja, a convergência depende do cancelamento dos sinais. - Se
não converge, então a série é divergente.
No nosso caso,
, então os módulos são
Vou testar a convergência da série absoluta
. Se essa convergir, já basta para concluir que a série original é absolutamente convergente.
Passo 3
Apresento um teste muito apropriado aqui: o Teste da Razão (dado que temos fatoriais e potências).
Enunciado do Teste da Razão (forma usada): para uma série com termos positivos
, se existir o limite
então
- se
, a série converge; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso vou aplicar com
.
Passo 4
Calculo a razão entre termos consecutivos:
Agora tomo o limite quando
:
Como
, pelo Teste da Razão a série
converge. Portanto
converge e logo a série original é absolutamente convergente.
Passo 5
(Comentário extra, para fixar: uma verificação alternativa e muito direta.) Lembrando a série de Taylor da exponencial,
se tomo
obtenho
Subtraindo o termo
(que vale
) vem
uma soma finita, confirmando que a série dos módulos converge. Isso bate com o resultado pelo Teste da Razão.
Passo 6
Conclusão lógica final: como
converge (por Teste da Razão ou porque soma
), a série original
é absolutamente convergente. Sempre que uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente (não é condicional).
Resposta
A série é absolutamente convergente.