Determine se a série dada é convergente ou divergente.
18.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
18.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas:
- O termo geral é
. - Para todo
temos (todos os termos são positivos).
A tarefa é decidir se a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita).
Passo 2
Uma ideia simples e muito útil: comparar
com uma série conhecida. Primeiro observação elementar para
:
portanto
Tomando recíprocos (os termos são positivos, então a desigualdade se inverte quando reciprocamos):
Ou seja, para todo
vale
Passo 3
Lembra da série harmônica básica:
essa série diverge (é um fato clássico; por exemplo, pode-se ver que seus termos somam mais do que as potências de dois — prova de Cauchy/semigrupos — ou usar integração). Então a série
também diverge, pois é simplesmente
vezes a série harmônica:
Passo 4
Agora aplicamos o teste de comparação para divergência (forma direta): se
para todo
e
diverge, então
também diverge. No nosso caso tomamos
. Como vimos, para todo
e
diverge. Logo
diverge também.
Passo 5
(Observação alternativa, só para intuição) Pode-se também usar o teste da comparação-limite com a série harmônica
. Calcular
Como o limite é um número positivo finito, as duas séries têm o mesmo comportamento; a harmônica diverge, logo a dada também diverge. Isso concorda com o resultado anterior.
Resposta
A série diverge.