Determine se a série dada é convergente ou divergente.
18.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n+\sqrt{n}}.
  • Para todo n\ge 1 temos a_n>0 (todos os termos são positivos).
    A tarefa é decidir se a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita).

Passo 2

Uma ideia simples e muito útil: comparar a_n com uma série conhecida. Primeiro observação elementar para n\ge 1:
\sqrt{n}\le n,
portanto
n+\sqrt{n}\le n+n=2n.
Tomando recíprocos (os termos são positivos, então a desigualdade se inverte quando reciprocamos):
\frac{1}{n+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{2n}.
Ou seja, para todo n\ge 1 vale
a_n=\frac{1}{n+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{2n}.

Passo 3

Lembra da série harmônica básica:
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},
essa série diverge (é um fato clássico; por exemplo, pode-se ver que seus termos somam mais do que as potências de dois — prova de Cauchy/semigrupos — ou usar integração). Então a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n}
também diverge, pois é simplesmente \tfrac{1}{2} vezes a série harmônica:
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=\infty.

Passo 4

Agora aplicamos o teste de comparação para divergência (forma direta): se 0\le b_n\le a_n para todo n e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge. No nosso caso tomamos b_n=\dfrac{1}{2n}. Como vimos, para todo n\ge1
0\le \frac{1}{2n}\le \frac{1}{n+\sqrt{n}}=a_n
e \sum b_n diverge. Logo \sum a_n diverge também.

Passo 5

(Observação alternativa, só para intuição) Pode-se também usar o teste da comparação-limite com a série harmônica b_n=\dfrac{1}{n}. Calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+\sqrt{n})}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+1/\sqrt{n}}=1.
Como o limite é um número positivo finito, as duas séries têm o mesmo comportamento; a harmônica diverge, logo a dada também diverge. Isso concorda com o resultado anterior.

Resposta

A série diverge.

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