Questão 34. (Limites Infinitos e Limites no Infinito)
Calcule os limites a seguir
lim x infty(3 x^3+4 x^2-1)

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente calcule
limxtoinftyl(3x^3 + 4x^2 - 1r).
Isso faz parte de “Limites no Infinito”, mais especificamente de como polinômios se comportam quando x cresce muito. Para resolver, vamos usar a ideia de que, num polinômio, o termo de maior grau (aqui 3x^3) domina o comportamento da função quando xtoinfty.

Passo 2

Primeiro, um toque de teoria:
  • Quando falamos que limxtoinftyf(x)=+infty, significa que, à medida que x cresce sem limite, f(x) também cresce sem limite.
  • Num polinômio, o termo de maior grau “faz a festa” para x grande. Os termos de grau menor viram detalhe.
Para deixar isso claro, fatoramos x^3 em
3x^3 + 4x^2 - 1 ;=; x^3l(3 + 4x - 1x^3r)

Passo 3

Agora, quando xtoinfty:
  • tfrac4xto 0
  • tfrac1x^3to 0
Logo dentro do parênteses fica
3 + 4x - 1x^3;longrightarrow;3
Isso significa que, para x bem grande,
3x^3 + 4x^2 - 1 approx x^3 cdot 3 = 3x^3

Passo 4

E como 3x^3 vai para +infty (porque x^3 cresce sem parar e o 3 é positivo), a função original também vai para +infty.

Resposta

limxtoinfty(3x^3 + 4x^2 - 1) = +infty.

Exercícios relacionados