Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
com condições iniciais
,
, usando transformadas de Laplace. Vamos precisar das propriedades de linearidade, da transformada de derivadas, da transformada do delta de Dirac e da transformação de deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, usando a propriedade da transformada de derivada:
Logo,
Passo 3
Usamos agora as propriedades da tabela:
-
(delta deslocado). -
.
Substituindo,
Passo 4
Isolamos
:
Passo 5
Para a parte
, usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
Logo
Passo 6
Para
, separamos:
-
pois . -
. -
fazemos frações parciais:
cuja inversa dá
Somando,
Resposta
A solução é