Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
y^prime prime-y=20 de<a(t-2)+6 t ; y(0)=3, y^prime(0)=7.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - y = 20,de<a(t-2) + 6,t,
com condições iniciais y(0)=3, y'(0)=7, usando transformadas de Laplace. Vamos precisar das propriedades de linearidade, da transformada de derivadas, da transformada do delta de Dirac e da transformação de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, usando a propriedade da transformada de derivada:
Ly'' = s^2 Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly = Y(s)
Logo,
l(s^2 Y(s) - scdot 3 - 7r);-;Y(s) ;=;20,Lde<a(t-2)+6,Lt

Passo 3

Usamos agora as propriedades da tabela:
  1. Lde<a(t-2)=e^-2s (delta deslocado).
  2. Lt=1/s^2.
    Substituindo,
(s^2 -1),Y(s) - 3s -7 = 20,e^-2s + 6s^2

Passo 4

Isolamos Y(s):
Y(s) = 20,e^-2ss^2-1 ;+;3s+7s^2-1;+;6s^2,(s^2-1)

Passo 5

Para a parte Y1(s)=tfrac20,e^-2ss^2-1, usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
L^-1!l20s^2-1r = 20,sinh(t), L^-1!e^-2sF(s) = u(t-2),f(t-2)
Logo
y1(t) = 20,u(t-2),sinhl(t-2r)

Passo 6

Para Y2(s)=3s+7s^2-1+6s^2(s^2-1), separamos:
  1. dfrac3ss^2-1mapsto 3cosh(t) pois Lcosh t=s/(s^2-1).
  2. dfrac7s^2-1mapsto 7,sinh(t).
  3. dfrac6s^2(s^2-1) fazemos frações parciais:
6s^2(s^2-1) = -6s^2 + 3s-1 - 3s+1,
cuja inversa dá
-6,t +3,e^t -3,e^-t
Somando,
y2(t) = 3cosh t +7sinh t -6t +3e^t -3e^-t =8e^t -5e^-t -6t

Resposta

A solução é
boxedy(t)=8e^t -5e^-t -6t ;+;20,u(t-2),sinhl(t-2r)

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