Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
sumn=1^infty(n^2+10n^3+10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série sumn=1^infty(n^2+10n^3+10) converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e ferramentas como o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série conforme n cresce. Observando o termo geral n^2+10n^3+10, percebemos que para valores grandes de n, os termos dominantes no numerador e denominador são n^2 e n^3, respectivamente. Assim, podemos simplificar o termo para aproximadamente n^2n^3 = 1n.

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série sumn=1^infty 1n, que é conhecida como a série harmônica e diverge. Para fazer isso de forma rigorosa, usamos o Teste de Comparação.

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação, vamos calcular o limite:
limn to infty n^2+10n^3+101n = limn to infty n^2+10n^3+10 cdot n = limn to infty n^3+10nn^3+10 = limn to infty 1 + 10n^21 + 10n^3 = 1
Como o limite é um número positivo e finito (neste caso, 1), e sabemos que a série com a qual estamos comparando ( sum 1n) diverge, podemos concluir pelo Teste de Comparação que nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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