Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e ferramentas como o Teste de Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série conforme
cresce. Observando o termo geral
, percebemos que para valores grandes de
, os termos dominantes no numerador e denominador são
e
, respectivamente. Assim, podemos simplificar o termo para aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série com a série
, que é conhecida como a série harmônica e diverge. Para fazer isso de forma rigorosa, usamos o Teste de Comparação.
Passo 4
Aplicando o Teste de Comparação, vamos calcular o limite:
Como o limite é um número positivo e finito (neste caso, 1), e sabemos que a série com a qual estamos comparando (
) diverge, podemos concluir pelo Teste de Comparação que nossa série também diverge.
Resposta
A série diverge.