Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=1^infty 5^3 k 7^1-k

Passo 1

Temos a série sumk=1^infty5^3k7^1-k. O conteúdo aqui é séries infinitas do tipo geométrica, e vamos precisar usar o critério de convergência para séries geométricas, que exige |q|<1.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral para identificar a razão q:
Escrevendo
5^3k7^1-k=7cdot5^3kcdot7^-k=7l(tfrac1257r)^k
fica claro que a série é geométrica com razão q=tfrac1257.

Passo 3

Para uma série geométrica sumk=1^inftya,q^k convergir é preciso ter |q|<1. Aqui
|q|=l|tfrac1257r|=tfrac1257>1
portanto o critério falha e a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois sua razão geométrica tfrac1257 não satisfaz |q|<1.

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