Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(3 n1+8 n)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série sumn=1^infty(3 n1+8 n)^n converge ou diverge. Essa questão está relacionada ao Teste da Razão, que usamos para verificar a convergência de séries infinitas. Então, vamos precisar entender esse teste e aplicá-lo passo a passo nessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série sum an, se o limite limn to infty |an+1an| for igual a L:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1 ou é infinito, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não dá resposta (indeterminado).
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 3

Vamos definir o termo geral da série como an = (3n1 + 8n)^n. Agora, precisamos calcular an+1:
an+1 = (3(n+1)1 + 8(n+1))^n+1

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = (3(n+1)1 + 8(n+1))^n+1(3n1 + 8n)^n
Isso pode ser simplificado para:
an+1an = (3(n+1)1 + 8(n+1)) cdot (3(n+1)1 + 8(n+1))^n cdot (1 + 8n3n)^n

Passo 5

Para simplificar, vamos focar no limite de an+1an quando n tende ao infinito. Observamos que:
an+1an approx (3(n+1)8(n+1))^n+1 cdot (8n3n)^n = (38)^n+1 cdot (83)^n
Simplificando:
an+1an approx (38) cdot (38)^n cdot (83)^n = (38)

Passo 6

Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty an+1an = 38
Como L = 38 < 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(3 n1+8 n)^n converge.

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