Determine se a série
converge ou diverge. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre uma série infinita:
. A gente precisa descobrir se essa série converge (isto é, se ela soma a um valor finito) ou se diverge (não tem soma finita). Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas de simplificação de termos, como frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, que é
. A ideia aqui é quebrar essa fração em duas partes mais simples usando frações parciais. Isso ajuda a identificar se a série pode ser telescópica, ou seja, se muitos termos se cancelam quando somamos.
Então, queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar
e
. Vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
- Se
:
- Se
:
Então, a decomposição é:
Passo 3
Agora que quebramos a fração original em duas partes, vamos reescrever a série usando essa decomposição:
Vamos ver como ficam os primeiros termos dessa série para identificar o padrão:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Vemos que muitos termos vão se cancelando quando somamos a série inteira. Esse tipo de série é chamada de telescópica porque os termos “se fecham” uns sobre os outros.
Passo 4
Vamos calcular a soma dos primeiros
termos para ver o que acontece quando
cresce:
Observa que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. No final, sobram apenas:
Passo 5
Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Resposta
A série
converge e a sua soma é igual a 1.