Determine se a série sumn=2^infty 1n(n-1) converge ou diverge. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre uma série infinita: sumn=2^infty 1n(n-1). A gente precisa descobrir se essa série converge (isto é, se ela soma a um valor finito) ou se diverge (não tem soma finita). Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas de simplificação de termos, como frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, que é 1n(n-1). A ideia aqui é quebrar essa fração em duas partes mais simples usando frações parciais. Isso ajuda a identificar se a série pode ser telescópica, ou seja, se muitos termos se cancelam quando somamos.
Então, queremos encontrar números A e B tais que:
1n(n-1) = An-1 + Bn
Multiplicando ambos os lados por n(n-1) para eliminar os denominadores:
1 = A n + B (n - 1)
Agora, vamos encontrar A e B. Vamos escolher valores de n que simplifiquem a equação:
  • Se n = 1:
1 = A cdot 1 + B cdot 0 Rightarrow A = 1
  • Se n = 0:
1 = A cdot 0 + B cdot (-1) Rightarrow B = -1
Então, a decomposição é:
1n(n-1) = 1n-1 - 1n

Passo 3

Agora que quebramos a fração original em duas partes, vamos reescrever a série usando essa decomposição:
sumn=2^infty ( 1n-1 - 1n )
Vamos ver como ficam os primeiros termos dessa série para identificar o padrão:
  • Para n=2:
12-1 - 12 = 1 - 12
  • Para n=3:
13-1 - 13 = 12 - 13
  • Para n=4:
14-1 - 14 = 13 - 14
E assim por diante. Vemos que muitos termos vão se cancelando quando somamos a série inteira. Esse tipo de série é chamada de telescópica porque os termos “se fecham” uns sobre os outros.

Passo 4

Vamos calcular a soma dos primeiros N termos para ver o que acontece quando N cresce:
SN = (1 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + cdots + (1N-1 - 1N)
Observa que 12 cancela com -12, 13 cancela com -13, e assim por diante. No final, sobram apenas:
SN = 1 - 1N

Passo 5

Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos calcular o limite de SN quando N tende ao infinito:
limN to infty SN = limN to infty (1 - 1N) = 1 - 0 = 1

Resposta

A série sumn=2^infty 1n(n-1) converge e a sua soma é igual a 1.

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