Use o Teste de Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty ln nn^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar, pelo Teste de Integral, se a série
sumn=1^inftyln nn^2
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é o Teste de Integral, que diz: se existe f(x)>=0, contínua e decrescente para x>=1 tal que f(n)=an, então sum an converge se, e somente se,
integral1^inftyf(x),dx
converge. Vamos aplicar isso com f(x)=dfracln xx^2.

Passo 2

Verificamos que, para x>=1,
  1. f(x)=dfracln xx^2>=0.
  2. f(x) é contínua e, a partir de algum ponto, decrescente. De fato,
f'(x) =1xcdot x^2-ln xcdot2xx^4 =x-2xln xx^4 =1-2ln xx^3,
que é negativo para x> e^1/2. Logo, para x>=1 (ou pelo menos para x>=2) a função é decrescente, e o Teste de Integral vale.

Passo 3

Calculemos a integral imprópria
integral1^inftyln xx^2,dx
Usamos integração por partes, escolhendo
u=ln x, dv=dxx^2 Longrightarrow du=dxx, v=-1x
Assim,
integral1^inftyln xx^2,dx =l[-ln xxr]1^infty -integral1^inftyl(-1xr)dxx =l[-ln xxr]1^infty +integral1^inftydxx^2
Agora,
limbtoinftyln bb=0,
e ln1=0, então
l[-ln xxr]1^infty=0-0=0,
enquanto
integral1^inftydxx^2 =l[-1xr]1^infty =0-(-1)=1
Logo
integral1^inftyln xx^2,dx=1<infty

Passo 4

Pelo Teste de Integral, como
integral1^inftyf(x),dx =integral1^inftyln xx^2,dx
converge, a série
sumn=1^inftyln nn^2
também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyln nn^2 é convergente.

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