Use o Teste de Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, pelo Teste de Integral, se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é o Teste de Integral, que diz: se existe
, contínua e decrescente para
tal que
, então
converge se, e somente se,
converge. Vamos aplicar isso com
.
Passo 2
Verificamos que, para
,
-
. -
é contínua e, a partir de algum ponto, decrescente. De fato,
que é negativo para
. Logo, para
(ou pelo menos para
) a função é decrescente, e o Teste de Integral vale.
Passo 3
Calculemos a integral imprópria
Usamos integração por partes, escolhendo
Assim,
Agora,
e
, então
enquanto
Logo
Passo 4
Pelo Teste de Integral, como
converge, a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.