Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty arctg nn^4

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
sumn=1^infty arctan nn^4
converge ou diverge.
Estamos lidando com séries de termos positivos, e a ideia é usar o teste da comparação com uma p-série.

Passo 2

Observamos que, para todo n>=1,
0<= arctan n<pi2
Isso significa que os termos da nossa série satisfazem
arctan nn^4<= pi/2n^4

Passo 3

Sabemos que a p-série
sumn=1^infty1n^4
converge, pois 4>1. Multiplicando por constante não zero,
sumn=1^inftypi/2n^4
também converge.

Passo 4

Como
0<= arctan nn^4<= pi/2n^4
e a série à direita converge, pelo teste da comparação a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty arctan nn^4 converge.

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