Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n^2+1n^4+1

Passo 1

A série em questão é sumn=1^infty n^2+1n^4+1. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da comparação em versão limite para verificar convergência, comparando com uma série-p que a gente já conhece.

Passo 2

Para séries do tipo sum 1/n^p, sabemos que ela converge se e somente se p>1. No nosso caso, a escolha natural é comparar com bn = 1/n^2, pois para n grande a nossa sequência geral se comporta como 1/n^2.

Passo 3

Aplicando o teste da comparação limite, calculamos L = limntoinfty anbn, onde an = n^2+1n^4+1 e bn = 1n^2.

Passo 4

Preparamos o limite:
L = limntoinfty n^2+1n^4+11n^2 = limntoinfty n^2(n^2+1)n^4+1 = 1
Como 0 < L < infty e sabemos que sum bn = sum 1/n^2 converge, concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2+1n^4+1 converge, por comparação limite com a série-p de expoente 2.

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