Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n^2-3 nraiz[3]n^10-4 n^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n^2-3nraiz[3]n^10-4n^2
O que vamos usar aqui é o teste de comparação assintótica (ou teste da série p), comparando o termo geral com uma série do tipo sum n^-p.

Passo 2

Analisando o comportamento para ntoinfty:
an=n^2-3nraiz[3]n^10-4n^2 =n^2l(1-3/nr) l(n^10l(1-4n^-8r)r)^1/3 =n^2(1-3/n)n^10/3(1-4n^-8)^1/3 =n^2-tfrac103,(1-3/n),(1-4n^-8)^-1/3
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an =n^-4/3,(1-3/n),(1-4n^-8)^-1/3 ;xrightarrow[ntoinfty]; n^-4/3

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite com bn=n^-4/3:
limntoinftyanbn =limntoinfty(1-3/n),(1-4n^-8)^-1/3 =1
Como sum bn=sum n^-4/3 é uma série p com p=tfrac43>1 (convergente), segue que sum an também converge.

Resposta

A série converge.

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