Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série alternada:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teste da Série Alternada e também comparar com séries conhecidas para verificar a convergência ou divergência.
Passo 2
Vamos identificar o termo geral da série. Observando os termos, percebemos que eles alternam sinais e têm denominadores que aumentam:
Aqui,
faz com que os sinais alternem, e
é o valor absoluto de cada termo.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes: . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
No nosso caso,
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se
é decrescente:
À medida que
aumenta, o denominador
aumenta, fazendo com que
diminua. Portanto, os termos são decrescentes.
Passo 5
Segundo, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite é zero, a segunda condição do Teste da Série Alternada é satisfeita.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série original converge.
Resposta
A série
converge.