Determine se a série
sumn=1^infty ln nn
converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para a gente verificar se a série
sumn=1^infty ln nn
converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente às técnicas para testar a convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta muito útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente. Diverge se essa soma não se estabiliza em um número finito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma função f(x) que é positiva, contínua e decrescente para x >= N (para algum N ), então a série sumn=N^infty f(n) converge se e somente se a integral integralN^infty f(x) , dx converge.

Passo 4

No nosso caso, a função é f(n) = ln nn . Ela é positiva para n > 1 , contínua e decrescente porque o logaritmo cresce mais devagar que n . Então, podemos aplicar o teste da integral:
integral1^infty ln xx , dx

Passo 5

Vamos calcular essa integral. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja u = ln x , então du = 1x dx . A integral fica:
integral u , du = u^22 + C = (ln x)^22 + C

Passo 6

Agora, avaliamos o limite dessa antiderivada quando x vai para o infinito:
limx to infty (ln x)^22 = infty
Isso significa que a integral diverge, ou seja, não chega a um número finito.

Passo 7

Como a integral integral1^infty ln xx , dx diverge, pelo Teste da Integral, a série
sumn=1^infty ln nn
também diverge.

Resposta

A série
sumn=1^infty ln nn
diverge.

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