Determine se a série
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente às técnicas para testar a convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta muito útil para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente. Diverge se essa soma não se estabiliza em um número finito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma função
que é positiva, contínua e decrescente para
(para algum
), então a série
converge se e somente se a integral
converge.
Passo 4
No nosso caso, a função é
. Ela é positiva para
, contínua e decrescente porque o logaritmo cresce mais devagar que
. Então, podemos aplicar o teste da integral:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 6
Agora, avaliamos o limite dessa antiderivada quando
vai para o infinito:
Isso significa que a integral diverge, ou seja, não chega a um número finito.
Passo 7
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.