Determine se a série
sumn=1^infty 2^2 n 3^1-n
converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty2^2n3^1-n
converge ou diverge. O conteúdo aqui é o reconhecimento de uma série geométrica, então vamos precisar reescrever o termo geral para identificar sua razão.

Passo 2

Começamos simplificando o termo geral. Note que
2^2n = 4^n
e portanto
2^2n,3^1-n = 4^n,3^1-n = 3cdot 4^ncdot 3^-n = 3l(43r)^n

Passo 3

Assim, a série fica
sumn=1^infty2^2n3^1-n = sumn=1^infty3l(43r)^n =3sumn=1^inftyl(43r)^n
Isso é exatamente uma série geométrica com primeiro termo a=3cdot43=4 (se começássemos em n=1) e razão
r = 43

Passo 4

Para uma série geométrica sum ar^n convergir, é necessário e suficiente que lvert rrvert<1. Aqui temos
llvert 43rrvert=43>1,
logo a série diverge. De quebra, o termo geral não tende a zero:
limntoinfty3l(43r)^n = inftyneq 0,
o que já basta para concluir divergência.

Resposta

A série diverge.

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