Determine se a série
sumn=1^infty 52 n^2+4 n+3
converge ou diverge.

Passo 1

Aqui a gente tem uma série infinita sumn=1^infty 52n^2 + 4n +3. O assunto envolvido é o estudo da convergência ou divergência de séries numéricas. Para resolver, vamos precisar entender os testes de comparação de séries e usar algumas propriedades de séries conhecidas, como a série p.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série. Observamos que o denominador é um polinômio de segundo grau: 2n^2 + 4n +3. Para facilitar, vamos dividir todos os termos por n^2:
52n^2 + 4n +3 = 5n^2 (2 + 4n + 3n^2) = 52n^2 cdot 11 + 2n + 32n^2
À medida que n cresce, os termos 2n e 32n^2 tornam-se pequenos, então o termo se comporta aproximadamente como 52n^2. Isso sugere que podemos comparar com a série sum 1n^2, que sabemos ser uma série p com p=2 e que converge.

Passo 3

Vamos formalizar essa comparação usando o Teste de Comparação. Sabemos que se 0 <= an <= bn para todo n grande o suficiente, e se sum bn converge, então sum an também converge.
Aqui, escolhemos bn = 52n^2. Então precisamos verificar se an = 52n^2 +4n +3 <= 52n^2:
2n^2 +4n +3 >= 2n^2 Rightarrow 12n^2 +4n +3 <= 12n^2
Multiplicando ambos os lados por 5, a desigualdade continua válida:
52n^2 +4n +3 <= 52n^2 = bn

Passo 4

Já que a série sum bn = sum 52n^2 é uma série p com p=2 (e sabemos que para p>1 essa série converge), então, pelo Teste de Comparação, a série original sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 52n^2+4n+3 converge.

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