Determine se a série
converge ou diverge.
Passo 1
Aqui a gente tem uma série infinita
. O assunto envolvido é o estudo da convergência ou divergência de séries numéricas. Para resolver, vamos precisar entender os testes de comparação de séries e usar algumas propriedades de séries conhecidas, como a série p.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série. Observamos que o denominador é um polinômio de segundo grau:
. Para facilitar, vamos dividir todos os termos por
:
À medida que
cresce, os termos
e
tornam-se pequenos, então o termo se comporta aproximadamente como
. Isso sugere que podemos comparar com a série
, que sabemos ser uma série p com
e que converge.
Passo 3
Vamos formalizar essa comparação usando o Teste de Comparação. Sabemos que se
para todo
grande o suficiente, e se
converge, então
também converge.
Aqui, escolhemos
. Então precisamos verificar se
:
Multiplicando ambos os lados por 5, a desigualdade continua válida:
Passo 4
Já que a série
é uma série p com
(e sabemos que para
essa série converge), então, pelo Teste de Comparação, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.