Determine se a série
sumn=1^infty 1n^2+1
converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 1n^2+1
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de comparação para séries de termos positivos e p-séries. Vamos usar que p-série sum 1/n^p converge se e somente se p>1.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação direta, note que para todo n>=1 vale
0 < 1n^2+1 < 1n^2
Sabemos pelo teste da p-série que
sumn=1^infty 1n^2
converge, pois aqui p=2>1.

Passo 3

Como cada termo 1n^2+1 é menor que o correspondente 1n^2 e a série comparadora converge, o teste de comparação direta garante que
sumn=1^infty 1n^2+1
também converge.

Resposta

A série converge.

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