Determine se a série
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita:
O objetivo é determinar se essa série converge (ou seja, tende a um número finito) ou diverge (cresce sem limite). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série quando
fica grande. Isso ajuda a simplificar a expressão para termos que já conhecemos como séries p.
No numerador, temos
. Para valores grandes de
, o termo
domina, então podemos aproximar o numerador por
.
No denominador, temos
. Para
grande, o termo
é muito maior que 5, então podemos aproximar o denominador por
.
Portanto, para
grande, a expressão se aproxima de:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com uma série p, que tem a forma:
Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
.
No nosso caso, a série comparativa é
, onde
. Como
, essa série diverge.
Passo 4
Como nossa série original se comporta de maneira semelhante a uma série p divergente para
grande, podemos usar o Teste da Comparação Limite. Esse teste nos diz que se o limite do quociente entre os termos das duas séries é um número positivo e finito, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.
Calculando o limite:
Como o limite é 2, que é um número positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.
Resposta
Portanto, a série
diverge.