Determine se a série
sumn=1^infty 2 n^2+3 nraiz5+n^5
converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita:
sumn=1^infty 2 n^2+3 nraiz5+n^5
O objetivo é determinar se essa série converge (ou seja, tende a um número finito) ou diverge (cresce sem limite). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série quando n fica grande. Isso ajuda a simplificar a expressão para termos que já conhecemos como séries p.
No numerador, temos 2n^2 + 3n . Para valores grandes de n , o termo 2n^2 domina, então podemos aproximar o numerador por 2n^2 .
No denominador, temos raiz5 + n^5 . Para n grande, o termo n^5 é muito maior que 5, então podemos aproximar o denominador por raizn^5 = n^5/2 .
Portanto, para n grande, a expressão se aproxima de:
2n^2n^5/2 = 2n^1/2 = 2n^-1/2

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com uma série p, que tem a forma:
sumn=1^infty 1n^p
Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1 .
No nosso caso, a série comparativa é sum 1n^1/2 , onde p = 12 . Como 12 <= 1 , essa série diverge.

Passo 4

Como nossa série original se comporta de maneira semelhante a uma série p divergente para grande, podemos usar o Teste da Comparação Limite. Esse teste nos diz que se o limite do quociente entre os termos das duas séries é um número positivo e finito, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.
Calculando o limite:
Como o limite é 2, que é um número positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Resposta

Portanto, a série
sumn=1^infty 2 n^2+3 nraiz5+n^5
diverge.

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