Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 n3 n+5

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 2n3n+5
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é o teste da divergência, que diz que se o termo geral de uma série não tende a zero, então a série diverge.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = 2n3n+5
Pela condição necessária para convergência de séries, se
sumn=1^infty an
converge, então deve ocorrer
limntoinfty an = 0

Passo 3

Vamos calcular o limite de an quando ntoinfty. Como os termos de maior grau no numerador e denominador são ambos em n, temos
limntoinfty 2n3n+5 = limntoinfty 23 + tfrac5n = 23 + 0 = 23

Passo 4

O limite obtido é
limntoinfty an = 23 neq 0
Logo, a condição necessária para convergência não é satisfeita. Pelo teste da divergência, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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