O enunciado pede para estudar a convergência da série
onde não é inteiro negativo.
Conteúdo: testes de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz) e comparação para convergência absoluta.
Passo 2
Verificamos a convergência absoluta avaliando
Como para n grande tfrac1|n+p|simtfrac1n e a série harmônica diverge, temos
sumn=1^infty1|n+p|=infty,
logo não há convergência absoluta.
Passo 3
Para aplicação do teste de Leibniz (alternância condicional), definimos
an=1n+p
Precisamos de duas coisas no “tail” da série (a partir de algum N0):
limntoinftyan=0. De fato, para todo pinR finito,
limntoinfty1n+p=0
an monótona decrescente em n a partir de certo ponto.
Passo 4
Como p não é inteiro negativo, n+pneq0 para todo n. Seja
N0=llceil -,prrceil(se p<= -1),
ou simplesmente N0=1 se p>-1.
Para n>= N0 temos n+p>0 e
an+1=1n+1+p<1n+p=an,
isto é, (an) é decrescente e tende a zero. Além disso, para n>= N0 o fator (-1)^n garante alternância de sinais. Pelo teste de Leibniz, o “tail” a partir de N0 converge. Os primeiros N0-1 termos só somam um valor finito, não afetando a convergência.
Resposta
A série converge condicionalmente para todo pinR que não seja inteiro negativo, i.e.