Para que valores de p a série converge
sumn=1^infty (-1)^nn+p
p náo é interiro negativo.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^nn+p
onde p não é inteiro negativo.
Conteúdo: testes de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz) e comparação para convergência absoluta.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta avaliando
sumn=1^inftyl|(-1)^nn+pr| =sumn=1^infty1|n+p|
Como para n grande tfrac1|n+p|simtfrac1n e a série harmônica diverge, temos
sumn=1^infty1|n+p|=infty,
logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Para aplicação do teste de Leibniz (alternância condicional), definimos
an=1n+p
Precisamos de duas coisas no “tail” da série (a partir de algum N0):
  1. limntoinftyan=0. De fato, para todo pinR finito,
limntoinfty1n+p=0
  1. an monótona decrescente em n a partir de certo ponto.

Passo 4

Como p não é inteiro negativo, n+pneq0 para todo n. Seja
N0=llceil -,prrceil(se p<= -1),
ou simplesmente N0=1 se p>-1.
Para n>= N0 temos n+p>0 e
an+1=1n+1+p<1n+p=an,
isto é, (an) é decrescente e tende a zero. Além disso, para n>= N0 o fator (-1)^n garante alternância de sinais. Pelo teste de Leibniz, o “tail” a partir de N0 converge. Os primeiros N0-1 termos só somam um valor finito, não afetando a convergência.

Resposta

A série converge condicionalmente para todo pinR que não seja inteiro negativo, i.e.
pnotin-1,-2,-3,dots

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