Determine se a série converge ou diverge
sumn=1^infty 1n! C

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty 1n!,C,
onde C é uma constante.
Conteúdo: testes de convergência de séries numéricas (neste caso, série de termos positivos e fator constante).

Passo 2

Fatoramos a constante C fora da soma, obtendo
sumn=1^infty 1n!,C = C sumn=1^infty 1n!
Agora basta estudar a convergência de sumn=1^infty 1/n!.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão em sum 1/n!. Seja
an = 1n!
Então
an+1an = 1/(n+1)!1/n! = 1n+1 longrightarrow 0 < 1 quando ntoinfty
Pelo teste da razão, a série sum 1/n! converge absolutamente.

Passo 4

Como sumn=1^infty1/n! converge e C é constante finita, a série original
Csumn=1^infty 1n!
também converge. Além disso, sabemos que
sumn=0^infty 1n! = e,
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sumn=1^infty 1n! = e - 1
e a soma da série dada é C,(e-1).

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é
C,(e-1)

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