Determine se a série converge ou diverge.
sumn=2^infty n+1n^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=2^inftyn+1n^2
Isso envolve o estudo de séries numéricas e podemos usar o teste de comparação ou a decomposição em séries p.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral da série em somas mais simples:
n+1n^2 = nn^2 + 1n^2 = 1n + 1n^2
Pela linearidade de séries, podemos escrever
sumn=2^inftyn+1n^2 = sumn=2^infty1n + sumn=2^infty1n^2

Passo 3

A série sumn=2^inftytfrac1n é a série harmônica (caso p=1) e diverge, enquanto sumn=2^inftytfrac1n^2 é uma série p com p=2>1 e converge.
Como a soma de uma parte divergente com uma parte convergente continua divergente, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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