Determine se a série converge ou diverge.
sumn=0^infty n^2+1n^3-1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=0^inftyn^2+1n^3-1
converge ou diverge. Note que em n=1 o termo é tfrac1^2+11^3-1=tfrac20, indefinido. Isso significa que a soma só faz sentido a partir de n=2. Como alterar um número finito de termos não afeta a convergência, passamos a analisar
sumn=2^inftyn^2+1n^3-1
O conteúdo envolvido é teste de comparação assintótica (ou teste da comparação limite) para séries de termos positivos.

Passo 2

Estudamos o comportamento para n grande do termo geral
an=n^2+1n^3-1
Para ntoinfty temos n^2+1sim n^2 e n^3-1sim n^3, logo
ansimn^2n^3=1n

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite com a série harmônica sum 1/n. Defina
bn=1n
Então consideramos o limite
L=limntoinftyanbn =limntoinftytfracn^2+1n^3-1tfrac1n =limntoinftyn,(n^2+1)n^3-1 =limntoinftyn^3+nn^3-1=1
Como 0< L<infty e sum bn=sum 1/n é divergente, a série sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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