Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado à matéria de Séries Numéricas, mais especificamente sobre testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Integral ou o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série:
. Notamos que para
,
não está definida, então na prática, vamos considerar que a série começa a partir de
para evitar problemas matemáticos.
Passo 3
Agora, para verificar a convergência da série, podemos utilizar o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge comparando-a com uma integral.
Passo 4
Vamos definir a função
para
. Essa função é positiva, contínua e decrescente para
, o que são condições necessárias para aplicar o Teste da Integral.
Passo 5
Aplicamos a integral de
de 2 até o infinito:
Fazendo uma substituição
, temos
. Assim, a integral se transforma em:
Passo 6
A integral
é igual a
, que tende ao infinito. Isso significa que a integral diverge.
Passo 7
Segundo o Teste da Integral, se a integral associada à série diverge, então a própria série também diverge. Portanto, concluímos que a série
diverge.
Resposta
A série
é divergente.