Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=0^infty 1n ln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série sumn=0^infty 1n ln n converge ou diverge. Isso está relacionado à matéria de Séries Numéricas, mais especificamente sobre testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Integral ou o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série: sumn=0^infty 1n ln n . Notamos que para n = 0 , ln 0 não está definida, então na prática, vamos considerar que a série começa a partir de n = 2 para evitar problemas matemáticos.

Passo 3

Agora, para verificar a convergência da série, podemos utilizar o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge comparando-a com uma integral.

Passo 4

Vamos definir a função f(x) = 1x ln x para x >= 2 . Essa função é positiva, contínua e decrescente para x >= 2 , o que são condições necessárias para aplicar o Teste da Integral.

Passo 5

Aplicamos a integral de f(x) de 2 até o infinito:
integral2^infty 1x ln x , dx
Fazendo uma substituição u = ln x , temos du = 1x dx . Assim, a integral se transforma em:
integralln 2^infty 1u , du

Passo 6

A integral integralln 2^infty 1u , du é igual a limb to infty ln b - ln (ln 2) , que tende ao infinito. Isso significa que a integral diverge.

Passo 7

Segundo o Teste da Integral, se a integral associada à série diverge, então a própria série também diverge. Portanto, concluímos que a série sumn=2^infty 1n ln n diverge.

Resposta

A série sumn=0^infty 1n ln n é divergente.

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