Represente graficamente as curvas determine:
,
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente representar graficamente a curva dada por
. Isso está no contexto de coordenadas polares, que é uma forma de representar pontos no plano usando um ângulo
e uma distância
em relação à origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter essas informações em um desenho e identificar as características principais da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de curva estamos lidando. A equação
é uma forma de um limacon. Um limacon pode ter diferentes formas dependendo dos coeficientes, e nesse caso, temos um limacon sem dente porque o coeficiente de
é menor que o coeficiente constante (2 > 1).
Passo 3
Agora, vamos encontrar alguns pontos chave para desenhar a curva. Vamos calcular
para alguns valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses pontos nos ajudam a ver como a distância
varia conforme o ângulo
.
Passo 4
Com esses pontos, podemos começar a desenhar a curva. No centro do gráfico polar, temos a origem. Para
,
, então marcamos um ponto a 1 unidade da origem na direção de 0 radianos (ao longo do eixo positivo x). Conforme
aumenta para
,
aumenta para 2, então o ponto vai para cima. Em
,
é máximo em 3, alcançando o ponto mais à esquerda. Voltando para
,
reduz para 2, e finalmente, em
, volta a 1.
Isso forma um limacon com uma “ding” suave, sem dente, que é simétrico em relação ao eixo polar.
Passo 5
Finalmente, conectando todos esses pontos e observando a simetria, a curva completa o limacon. A forma resultante tem uma aparência arredondada com um “balonete” ao redor da origem, devido à presença do termo constante 2 na equação.
Resposta
A curva
é um limacon sem dente, simétrico em relação ao eixo polar, com pontos máximos em
quando
e mínimos em
quando
. O gráfico apresenta uma forma arredondada característica desse tipo de limacon.