Represente graficamente as curvas determine:
r(theta)=2-cos (theta),

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente representar graficamente a curva dada por r(theta) = 2 - cos(theta) . Isso está no contexto de coordenadas polares, que é uma forma de representar pontos no plano usando um ângulo theta e uma distância r em relação à origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter essas informações em um desenho e identificar as características principais da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de curva estamos lidando. A equação r(theta) = 2 - cos(theta) é uma forma de um limacon. Um limacon pode ter diferentes formas dependendo dos coeficientes, e nesse caso, temos um limacon sem dente porque o coeficiente de cos(theta) é menor que o coeficiente constante (2 > 1).

Passo 3

Agora, vamos encontrar alguns pontos chave para desenhar a curva. Vamos calcular r(theta) para alguns valores de theta:
  • Para theta = 0:
r(0) = 2 - cos(0) = 2 - 1 = 1
  • Para theta = pi2:
r(pi2) = 2 - cos(pi2) = 2 - 0 = 2
  • Para theta = pi:
r(pi) = 2 - cos(pi) = 2 - (-1) = 3
  • Para theta = 3pi2:
r(3pi2) = 2 - cos(3pi2) = 2 - 0 = 2
  • Para theta = 2pi:
r(2pi) = 2 - cos(2pi) = 2 - 1 = 1
Esses pontos nos ajudam a ver como a distância r varia conforme o ângulo theta.

Passo 4

Com esses pontos, podemos começar a desenhar a curva. No centro do gráfico polar, temos a origem. Para theta = 0, r = 1, então marcamos um ponto a 1 unidade da origem na direção de 0 radianos (ao longo do eixo positivo x). Conforme theta aumenta para pi2, r aumenta para 2, então o ponto vai para cima. Em theta = pi, r é máximo em 3, alcançando o ponto mais à esquerda. Voltando para theta = 3pi2, r reduz para 2, e finalmente, em 2pi, volta a 1.
Isso forma um limacon com uma “ding” suave, sem dente, que é simétrico em relação ao eixo polar.

Passo 5

Finalmente, conectando todos esses pontos e observando a simetria, a curva completa o limacon. A forma resultante tem uma aparência arredondada com um “balonete” ao redor da origem, devido à presença do termo constante 2 na equação.

Resposta

A curva r(theta) = 2 - cos(theta) é um limacon sem dente, simétrico em relação ao eixo polar, com pontos máximos em r = 3 quando theta = pi e mínimos em r = 1 quando theta = 0, 2pi . O gráfico apresenta uma forma arredondada característica desse tipo de limacon.

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