Represente algebricamente em coordenadas polares a equação:
x^2-x+y^2=3 raizx^2+y^2

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Queremos converter a equação $ x^{2} - x + y^{2} = 3 \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Para isso, vamos precisar das relações de conversão entre as coordenadas cartesianas x^2 - x + y^2 = 3 raizx^2 + y^2 e as coordenadas polares (x, y):
(r, theta)
x = r cos theta
y = r sin theta

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ x $ e $ y $ pelas suas expressões em coordenadas polares na equação original:
x
Substituindo:
y

Passo 3

Vamos simplificar os termos:
r^2 cos^2 theta - r cos theta + r^2 sin^2 theta = 3r
Observamos que $ r^{2} \cos^{2} \theta + r^{2} \sin^{2} \theta = r^{2} (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) $, e sabemos que $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $. Portanto:
r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
cos^2 theta + sin^2 theta = 1

Passo 4

Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
r^2 - r cos theta - 3r = 0
Podemos fatorar $ r $:
r
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ r = 0 $
  2. $ r - \cos \theta - 3 = 0 $ r (r - cos theta - 3) = 0 $ r = \cos \theta + 3 $

Resposta

A representação algébrica em coordenadas polares da equação dada é:
r = 3 + cos theta

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