Represente algebricamente em coordenadas polares a equação:
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Queremos converter a equação $ x^{2} - x + y^{2} = 3 \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Para isso, vamos precisar das relações de conversão entre as coordenadas cartesianas
e as coordenadas polares
:
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ x $ e $ y $ pelas suas expressões em coordenadas polares na equação original:
Substituindo:
Passo 3
Vamos simplificar os termos:
Observamos que $ r^{2} \cos^{2} \theta + r^{2} \sin^{2} \theta = r^{2} (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) $, e sabemos que $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $. Portanto:
Passo 4
Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Podemos fatorar $ r $:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ r = 0 $
- $ r - \cos \theta - 3 = 0 $
$ r = \cos \theta + 3 $
Resposta
A representação algébrica em coordenadas polares da equação dada é: