Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série infinita
.
O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas; vamos usar o teste de p-série (ou comparação com a série harmônica).
O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas; vamos usar o teste de p-série (ou comparação com a série harmônica).
Passo 2
Reescrevendo o termo geral, temos
A soma
difere apenas de um deslocamento de índice da série harmônica
, que é conhecida por divergir.
Passo 3
Pelo teste de p-série com
, ou pela comparação direta com a série harmônica, concluímos que
diverge.
Multiplicar uma série divergente por uma constante não nula (aqui ) mantém a divergência.
Multiplicar uma série divergente por uma constante não nula (aqui
Passo 4
Opcionalmente, observando as somas parciais
onde
é o
-ésimo número harmônico que tende a infinito, vemos que
. Logo, a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.