Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty -2n+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série infinita
sumn=1^infty -2n+1.
O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas; vamos usar o teste de p-série (ou comparação com a série harmônica).

Passo 2

Reescrevendo o termo geral, temos
sumn=1^infty -2n+1 = -2 sumn=1^infty 1n+1
A soma sumn=1^infty 1n+1 difere apenas de um deslocamento de índice da série harmônica sumn=1^infty 1n, que é conhecida por divergir.

Passo 3

Pelo teste de p-série com p=1, ou pela comparação direta com a série harmônica, concluímos que
sumn=1^infty 1n+1 diverge.
Multiplicar uma série divergente por uma constante não nula (aqui -2) mantém a divergência.

Passo 4

Opcionalmente, observando as somas parciais
SN = sumn=1^N -2n+1 = -2l(HN+1-1r),
onde HN+1 é o (N+1)-ésimo número harmônico que tende a infinito, vemos que SN to -infty. Logo, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty -2n+1 é divergente.

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