Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{4 n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^inftyn^24n^3+1
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido são séries numéricas de termos positivos. Vamos usar o teste da comparação pelo limite (limite de quociente) comparando com a série harmônica.

Passo 2

Definimos
an = n^24n^3+1
e comparamos com
bn = 1n,
cuja série sum bn é a conhecida série harmônica, que diverge. Calculamos o limite do quociente:
limntoinftyanbn = limntoinftyn^24n^3+11n = limntoinftyn^34n^3+1 = 14

Passo 3

Como esse limite é um número finito e diferente de zero ( tfrac14), o teste de comparação pelo limite diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Sabendo que sum bn=sum1n diverge (série harmônica), concluímos que
sumn=1^inftyn^24n^3+1
também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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