Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{4 n^{3}+1}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{4 n^{3}+1}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido são séries numéricas de termos positivos. Vamos usar o teste da comparação pelo limite (limite de quociente) comparando com a série harmônica.
Passo 2
Definimos
e comparamos com
cuja série
é a conhecida série harmônica, que diverge. Calculamos o limite do quociente:
Passo 3
Como esse limite é um número finito e diferente de zero (
), o teste de comparação pelo limite diz que
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Sabendo que
diverge (série harmônica), concluímos que
também diverge.
também diverge.
Resposta
A série é divergente.