Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo principal que vamos usar é o teste da razão.
Passo 2
O teste da razão diz que, para uma série de termos positivos
, se
existe e
, então a série converge. Se
, ela diverge. Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular a razão
Passo 4
Reescrevendo
Ao calcular o limite para
:
logo
Passo 5
Como o limite
é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge.
Resposta
A série
é convergente.