Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^inftyan, an = (n!)^2(2n)!
O conteúdo principal que vamos usar é o teste da razão.

Passo 2

O teste da razão diz que, para uma série de termos positivos sum an, se
L = limn to infty an+1an
existe e L < 1, então a série converge. Se L > 1, ela diverge. Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão
an+1an = l((n+1)!r)^2(2n+2)!% (n!)^2(2n)! = (n+1)^2,(n!)^2(2n+2)(2n+1)(2n)!;cdot;(2n)!(n!)^2 = (n+1)^2(2n+2)(2n+1)

Passo 4

Reescrevendo
an+1an = (n+1)^2(2n+2)(2n+1) = n+12n+1,cdot,n+12n+2
Ao calcular o limite para ntoinfty:
limntoinftyn+12n+1 = 12, limntoinftyn+12n+2 = 12,
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L = limntoinftyan+1an = 12 times 12 = 14 < 1

Passo 5

Como o limite L = tfrac14 é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(n!)^2(2n)! é convergente.

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