Determine se a série converge ou diverge. No caso das séries convergentes, determine se a convergência é absoluta ou condicional. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. E caso ela convirja, tem que dizer se é convergência absoluta ou condicional. Pra resolver isso, vamos precisar usar os testes de convergência de séries, mais especificamente o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Esse teste é útil quando temos uma série com termos positivos e decrescentes. A ideia é comparar a série com uma integral para ver se ela converge ou não. Se a integral correspondente converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Integral na nossa série
. Consideramos a função
, que é positiva e crescente para
. Então, configuramos a integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A primitiva de
é:
Então, avaliando de 2 até
e depois fazendo
tendendo ao infinito:
Passo 5
Vamos analisar o limite. O termo
cresce mais rápido que
, então à medida que
vai para infinito,
também vai para infinito. Isso significa que a integral diverge.
Passo 6
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.