Determine se a série converge ou diverge. No caso das séries convergentes, determine se a convergência é absoluta ou condicional. Justifique.
sumn=2^infty ln n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a série sumn=2^infty ln n converge ou diverge. E caso ela convirja, tem que dizer se é convergência absoluta ou condicional. Pra resolver isso, vamos precisar usar os testes de convergência de séries, mais especificamente o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Esse teste é útil quando temos uma série com termos positivos e decrescentes. A ideia é comparar a série com uma integral para ver se ela converge ou não. Se a integral correspondente converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral na nossa série sumn=2^infty ln n. Consideramos a função f(x) = ln x, que é positiva e crescente para x > 1. Então, configuramos a integral:
integral2^infty ln x , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A primitiva de ln x é:
integral ln x , dx = x ln x - x + C
Então, avaliando de 2 até t e depois fazendo t tendendo ao infinito:
limt to infty [ t ln t - t - (2 ln 2 - 2) ]

Passo 5

Vamos analisar o limite. O termo t ln t cresce mais rápido que t, então à medida que t vai para infinito, t ln t - t também vai para infinito. Isso significa que a integral diverge.

Passo 6

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty ln n também diverge.

Resposta

A série sumn=2^infty ln n diverge.

Exercícios relacionados