Determine se a série converge ou diverge. No caso das séries convergentes, determine se a convergência é absoluta ou condicional. Justifique.
sumn=2^infty ln (1+1n).

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=2^infty ln!l(1+tfrac1nr)
O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa soma de logaritmos pode ser tratada como uma série telescópica.

Passo 2

Observe que
ln!l(1+tfrac1nr) =ln!l(tfracn+1nr) =ln(n+1)-ln(n)
Esse tipo de escrita como diferença de termos consecutivos é a chave para a telescopia.

Passo 3

Considere a soma parcial
SN=sumn=2^Nln!l(1+tfrac1nr) =sumn=2^Nl[ln(n+1)-ln(n)r]
Ao expandir, todos os termos intermediários cancelam, sobrando
SN=l[ln(3)-ln(2)r]+l[ln(4)-ln(3)r]+cdots+l[ln(N+1)-ln(N)r] =ln(N+1)-ln(2)

Passo 4

Agora, faça Ntoinfty. Temos
limNtoinftySN =limNtoinftyl[ln(N+1)-ln(2)r] =+infty
Como a soma parcial cresce sem limite, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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