Neste exercício você vai precisar usar que (n+1n)^n=(1+1n)^n undersetn inftylongrightarrow e.
O objetivo é calcular o limite das sequências an=(1+2n)^n e bn=(1-1n)^n.
Verifique que an=(n+2n+1)^n+1(n+2n+1)^-1(n+1n)^n e calcule lim an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve calcular o limite de duas sequências: an = (1 + 2n)^n e bn = (1 - 1n)^n. Para isso, vamos usar um conceito importante do cálculo que diz que (1 + 1n)^n se aproxima de e quando n cresce para o infinito. Vamos precisar entender um pouco sobre limites e exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na sequência an = (1 + 2n)^n. Para facilitar, a gente pode reescrever essa expressão de uma maneira que se pareça mais com o que já sabemos que aproxima e. Isso vai ajudar a gente a usar essa propriedade para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos manipular a expressão de an. Queremos expressar 1 + 2n de uma forma que possamos aplicar o limite conhecido. Observamos que:
1 + 2n = n + 2n = n + 2n + 1 cdot n + 1n
Então, podemos escrever an como:
an = (n + 2n + 1)^n + 1 cdot (n + 2n + 1)^-1 cdot (n + 1n)^n

Passo 4

Agora, vamos analisar cada uma dessas partes separadamente. Sabemos que:
(n + 1n)^n = (1 + 1n)^n undersetn inftylongrightarrow e
Isso nos dá uma pista de que partes da nossa expressão vão se aproximar de e quando n vai para o infinito.

Passo 5

Vamos olhar para (n + 2n + 1)^n + 1. Podemos reescrever isso como:
(1 + 1n + 1)^n + 1
E sabemos que:
(1 + 1n + 1)^n + 1 undersetn inftylongrightarrow e
Então, essa parte da expressão também se aproxima de e.

Passo 6

Agora, consideramos (n + 2n + 1)^-1. Isso é equivalente a:
1n + 2n + 1 = n + 1n + 2
Quando n vai para o infinito, n + 1n + 2 se aproxima de 1, porque os termos com n dominam e a razão tende a 1.

Passo 7

Juntando tudo, temos:
an = (n + 2n + 1)^n + 1 cdot (n + 2n + 1)^-1 cdot (n + 1n)^n approx e cdot 1 cdot e = e^2
Portanto, quando n tende ao infinito, an se aproxima de e^2.

Resposta

O limite de an quando n tende ao infinito é e^2.

Exercícios relacionados