Neste exercício você vai precisar usar que
.
O objetivo é calcular o limite das sequências
e
.
Verifique que
e calcule
.
O objetivo é calcular o limite das sequências
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve calcular o limite de duas sequências:
e
. Para isso, vamos usar um conceito importante do cálculo que diz que
se aproxima de
quando
cresce para o infinito. Vamos precisar entender um pouco sobre limites e exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na sequência
. Para facilitar, a gente pode reescrever essa expressão de uma maneira que se pareça mais com o que já sabemos que aproxima
. Isso vai ajudar a gente a usar essa propriedade para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos manipular a expressão de
. Queremos expressar
de uma forma que possamos aplicar o limite conhecido. Observamos que:
Então, podemos escrever
como:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada uma dessas partes separadamente. Sabemos que:
Isso nos dá uma pista de que partes da nossa expressão vão se aproximar de
quando
vai para o infinito.
Passo 5
Vamos olhar para
. Podemos reescrever isso como:
E sabemos que:
Então, essa parte da expressão também se aproxima de
.
Passo 6
Agora, consideramos
. Isso é equivalente a:
Quando
vai para o infinito,
se aproxima de 1, porque os termos com
dominam e a razão tende a 1.
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Portanto, quando
tende ao infinito,
se aproxima de
.
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é
.