Determine se a série converge ou diverge: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3}+1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3}+1}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
O termo geral é a_n=\dfrac{n^{2}}{n^{3}+1}.
O índice começa em n=0. Note que a_0=\dfrac{0^{2}}{0^{3}+1}=0, então o início em 0 não altera o comportamento assintótico.
Para n\ge 1 os termos a_n são positivos.
A pergunta é única: testar convergência (soma finita) ou divergência (soma vai ao infinito).
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): quando n é grande, termos racionais formados por potências de n costumam ser comparáveis a potências simples de n. Aqui o numerador tem ordem n^{2} e o denominador ordem n^{3}, então intuitivamente a_n é da ordem de 1/n. Séries com termo da ordem de 1/n costumam lembrar a série harmônica \sum 1/n, que diverge. Vamos transformar essa intuição em um teste rigoroso: o teste da comparação por limite (limit comparison test).
Explicação do teste (teorema e significado, em linguagem simples):
Seja (a_n) e (b_n) sequências de termos positivos. Se existir o limite finito e positivo
então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem simultaneamente. Ou seja, se uma diverge, a outra também diverge; se uma converge, a outra converge.
Passo 3
Escolha da comparação: com base na observação assintótica, escolhemos
b_n=\frac{1}{n},
a famosa série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, cuja divergência vamos usar (explico em seguida por que ela diverge).
Passo 4
Aplicando o teste da comparação por limite. Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{2}}{n^{3}+1}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+1}\cdot n =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+1}.
Para avaliar esse último limite, dividimos numerador e denominador por n^{3}:
Logo o limite é 1, que é um número finito e positivo. Pelo teste, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (convergência ou divergência).
Passo 5
Agora, por que usamos a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}? Porque é um caso clássico e conhecido: a série harmônica diverge. Um argumento curto e didático (teste da integral): considere a função f(x)=1/x para x\ge 1. Então
\int_{1}^{N}\frac{1}{x}\,dx=\ln N,
e \ln N\to\infty quando N\to\infty. Pelo teste da integral (que compara soma de áreas retangulares com a integral), a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge. Portanto \sum b_n diverge.
Passo 6
Conclusão pela comparação por limite: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\in(0,\infty)
e \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge, a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+1}
também diverge. (O termo n=0 igual a zero não altera a divergência.)