converge ou diverge. Informações que temos do enunciado:
O termo geral da série é a_n=\dfrac{(-1)^{n+3}}{n^{3}+4n+1}.
Há um fator alternante (-1)^{n+3} que faz os sinais dos termos alternarem.
O módulo do termo é |a_n|=\dfrac{1}{n^{3}+4n+1}, que é uma sequência positiva cuja ordem de grandeza parece ser da forma \dfrac{1}{n^{3}} quando n é grande.
O que nos pedem: decidir convergência (diverge / converge condicionalmente / converge absolutamente).
Passo 2
Definição e ideia chave que vou usar: convergência absoluta.
Dizemos que uma série \sum a_n converge absolutamente se a série das normas \sum |a_n| converge.
Teorema útil: se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (isto é, a convergência absoluta implica convergência).
Explicando por que isso é verdade (esqueminha direto e útil na prova): se \sum |a_n| converge, então as somas parciais da série de termos absolutos formam uma sequência de Cauchy; para m<n,
e o lado direito pode ser tornado arbitrariamente pequeno porque a série \sum |a_k| converge. Logo as somas parciais de \sum a_n também são Cauchy, logo a série \sum a_n converge. Isso é um argumento simples e prático para usar na prova.
Passo 3
Teste de referência: série-p (p-series).
A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1.
Justificativa rápida (intuição sólida): pelo teste da integral, \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converge exatamente quando p>1; o cálculo da integral dá \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx=\dfrac{1}{p-1} quando p>1, e diverge quando p\le 1. Portanto séries com termo geral comparável a 1/n^{p} seguem esse critério.
No nosso caso observe que p=3>1, então a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
converge.
Passo 4
Aplicando comparação para a parte absoluta da série:
Para todo n\ge 1 vale
n^{3}+4n+1 \ge n^{3},
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|a_n|=\frac{1}{n^{3}+4n+1} \le \frac{1}{n^{3}}.
Como já vimos, \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{3}} converge (série-p com p=3). Pelo teste da comparação (se 0\le b_n\le c_n e \sum c_n converge então \sum b_n converge), concluímos que
Conclusão final usando o Passo 2: como a série das normas \sum |a_n| converge, a série original \sum a_n converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência, portanto a série dada converge.