Verifique se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{3}+1};

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{3}+1}.
O que é pedido: classificar a série como uma das três possibilidades: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações explícitas que temos:
  • O sinal alterna por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • O termo positivo associado é \displaystyle b_n=\frac{1}{n^{3}+1} (ou seja, |a_n|=b_n).
  • A soma começa em n=2.

Passo 2

Plano de ataque (sem pular passos): primeiro conto verificar a convergência absoluta, ou seja, estudar a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n^{3}+1}\right| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{3}+1}.
Se essa série de termos absolutos convergir, então a série original é automaticamente absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Esse caminho é bom aqui porque é fácil comparar com uma série conhecida (a p-série \sum 1/n^{p} com p=3).
Explicando o que significa “convergência absoluta” (mini-aulinha): uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge. Isso é uma condição forte: absoluta implica convergência usual. Por isso é natural checar \sum |a_n| primeiro.

Passo 3

Comparação com uma p-série.
Observação simples sobre os termos: para todo n\ge 1\) vale \[n^{3}+1 \ge n^{3},
logo, invertendo (termos positivos),
\frac{1}{n^{3}+1} \le \frac{1}{n^{3}}.
Portanto, para n\ge 2,
0 \le \frac{1}{n^{3}+1} \le \frac{1}{n^{3}}.
Agora lembramos a propriedade conhecida das p-séries (mini-aulinha sobre p-séries e teste da integral):
  • A p-série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
    Uma justificativa rápida via teste da integral: para p\neq1,
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx=\begin{cases} \frac{1}{p-1}, & p>1,\\[4pt] \infty, & p\le1, \end{cases}
então para p=3\] a integral é finita e \(\sum 1/n^{3} converge.]

Passo 4

Aplicando o teste de comparação direta:
Temos para n\ge 2 que 0\le \dfrac{1}{n^{3}+1}\le \dfrac{1}{n^{3}}. Como a série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} converge (é p-série com p=3>1), pela comparação direta concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3}+1}
também converge. Logo \sum |a_n| converge, isto é, a série original converge absolutamente.

Passo 5

Comentário adicional (didático e opcional): poderia-se também verificar a convergência usando o teste de séries alternantes (teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série do tipo \sum (-1)^{n} b_n converge se b_n é uma sequência positiva, monótona decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n=0. Aqui b_n=\dfrac{1}{n^{3}+1} satisfaz \lim_{n\to\infty} b_n=0 e é decrescente (por exemplo, verificação via a função f(x)=1/(x^{3}+1) tem derivada negativa para x\ge1), então o teste de Leibniz garantiria convergência também. Mas como já provamos convergência da série de valores absolutos, a conclusão mais forte é a de convergência absoluta.

Resposta

absolutamente convergente

Exercícios relacionados