Se essa série de termos absolutos convergir, então a série original é automaticamente absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Esse caminho é bom aqui porque é fácil comparar com uma série conhecida (a p-série \sum 1/n^{p} com p=3).
Explicando o que significa “convergência absoluta” (mini-aulinha): uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge. Isso é uma condição forte: absoluta implica convergência usual. Por isso é natural checar \sum |a_n| primeiro.
Passo 3
Comparação com uma p-série.
Observação simples sobre os termos: para todo n\ge 1\) vale
\[n^{3}+1 \ge n^{3},
logo, invertendo (termos positivos),
\frac{1}{n^{3}+1} \le \frac{1}{n^{3}}.
Portanto, para n\ge 2,
0 \le \frac{1}{n^{3}+1} \le \frac{1}{n^{3}}.
Agora lembramos a propriedade conhecida das p-séries (mini-aulinha sobre p-séries e teste da integral):
A p-série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
Uma justificativa rápida via teste da integral: para p\neq1,
então para p=3\] a integral é finita e \(\sum 1/n^{3} converge.]
Passo 4
Aplicando o teste de comparação direta:
Temos para n\ge 2 que 0\le \dfrac{1}{n^{3}+1}\le \dfrac{1}{n^{3}}. Como a série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} converge (é p-série com p=3>1), pela comparação direta concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3}+1}
também converge. Logo \sum |a_n| converge, isto é, a série original converge absolutamente.
Passo 5
Comentário adicional (didático e opcional): poderia-se também verificar a convergência usando o teste de séries alternantes (teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série do tipo \sum (-1)^{n} b_n converge se b_n é uma sequência positiva, monótona decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n=0. Aqui b_n=\dfrac{1}{n^{3}+1} satisfaz \lim_{n\to\infty} b_n=0 e é decrescente (por exemplo, verificação via a função f(x)=1/(x^{3}+1) tem derivada negativa para x\ge1), então o teste de Leibniz garantiria convergência também. Mas como já provamos convergência da série de valores absolutos, a conclusão mais forte é a de convergência absoluta.