Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}
converge ou diverge.
O conteúdo é teste de convergência de séries pelo critério de comparação em limite com uma p-série, e vamos comparar com a série harmônica \sum 1/n.

Passo 2

Para n grande,
n(n+1)(n+2)=n^3\bigl(1+\tfrac1n\bigr)\bigl(1+\tfrac2n\bigr)\approx n^3,
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\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}\approx n \quad\Longrightarrow\quad a_n=\frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}\sim\frac{1}{n}.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da comparação em limite entre
a_n=\frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}} \quad\text{e}\quad b_n=\frac{1}{n}.
Calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[3]{n^3(1+1/n)(1+2/n)}} =\frac{1}{1\cdot1}=1.
Como 0<L<\infty, ambas séries convergem ou divergem juntas.

Passo 4

A p-série \sum 1/n (com p=1) é divergente. Portanto, pelo teste de comparação em limite,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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