Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+5^{n}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1+5^{n}}{4^{n}}
converge ou diverge. Vamos usar o fato de que séries geométricas convergem se a razão absoluta é menor que 1 e divergem caso contrário.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como soma de duas partes:
\frac{1+5^{n}}{4^{n}} =\frac{1}{4^{n}}+\frac{5^{n}}{4^{n}} =\frac{1}{4^{n}}+\Bigl(\frac{5}{4}\Bigr)^{n}.
Portanto a série original se decompõe em
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1+5^{n}}{4^{n}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^{n}} +\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{5}{4}\Bigr)^{n}.

Passo 3

A primeira parte \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}
é uma série geométrica com razão \displaystyle r=\frac{1}{4}.
Como \lvert r\rvert<1, ela converge (e, de fato, soma-se a \frac{1}{1-\tfrac14}=\tfrac43).

Passo 4

A segunda parte \sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)^{n}
é também uma série geométrica, mas agora com razão \displaystyle r=\frac{5}{4}.
Como \lvert r\rvert>1, essa série diverge.

Passo 5

Uma soma de duas séries em que uma delas diverge diverge. Logo a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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