Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos usar o fato de que séries geométricas convergem se a razão absoluta é menor que 1 e divergem caso contrário.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral como soma de duas partes:
Portanto a série original se decompõe em
Passo 3
A primeira parte
é uma série geométrica com razão .
Como , ela converge (e, de fato, soma-se a
).
é uma série geométrica com razão
Como
Passo 4
A segunda parte
é também uma série geométrica, mas agora com razão .
Como , essa série diverge.
é também uma série geométrica, mas agora com razão
Como
Passo 5
Uma soma de duas séries em que uma delas diverge diverge. Logo a série original diverge.
Resposta
A série diverge.