Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}}.
O conteúdo é teste de séries numéricas e usaremos comparações com séries p.

Passo 2

Para grandes n, temos
n(n+1)(n+2)\approx n\cdot n\cdot n = n^3,
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\sqrt{n(n+1)(n+2)}\approx n^{3/2}
e então
\frac{1}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}}\approx \frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 3

Formalizando a comparação: para todo n\ge1 vale n+1>n e n+2>n, portanto
n(n+1)(n+2)>n\cdot n\cdot n = n^3,
o que implica
\sqrt{n(n+1)(n+2)}>n^{3/2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}}<\frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 4

Como sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
é convergente (é uma série p com p=\tfrac32>1), pelo teste da comparação direta a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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