Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}+n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3} + n^{2}}
converge ou diverge. Como os termos são positivos, vamos usar o teste de comparação com p-séries.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1,
\frac{1}{n^{3}+n^{2}} =\frac{1}{n^{2}(n+1)} <\frac{1}{n^{2}\cdot n} =\frac{1}{n^{3}}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
é uma p-série com p=3>1, portanto ela converge.

Passo 4

Pelo teste de comparação, como
0\le \frac{1}{n^{3}+n^{2}}\le\frac{1}{n^{3}}
e \sum 1/n^{3} converge, conclui-se que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}1/(n^{3}+n^{2}) também converge.

Resposta

A série converge.

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