Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^{n}+5}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{4^{n}+5}
converge ou diverge. Como os termos são positivos e lembramos que a série geométrica \sum 3\cdot(1/4)^{n}
converge (porque a razão 1/4 satisfaz |1/4|<1), vamos usar o crité­rio de comparação com essa série geométrica.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1,
4^{n}+5 \;\ge\;4^{n},
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0 \;<\;\frac{3}{4^{n}+5} \;\le\;\frac{3}{4^{n}} =3\cdot\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{n}.
Como a série \sum_{n=1}^{\infty}3\cdot(1/4)^{n}
é uma série geométrica convergente, o critério de comparação nos garante que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{4^{n}+5}
também converge.

Resposta

A série converge.

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