Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-4}.
O conteúdo principal é séries numéricas, e vamos usar o teste da comparação por limite com a série-p de parâmetro p=2.

Passo 2

Recordamos que a série-p \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui escolhemos comparar \displaystyle a_{n}=\frac{1}{n^{2}-4}
com \displaystyle b_{n}=\frac{1}{n^{2}},
já que \sum b_{n} é convergente (é uma série-p com p=2).

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação por limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n^{2}-4}}{\frac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{\,n^{2}-4\,} =1.
Como esse limite é um número finito e positivo 1, segue que \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

A série-p \sum b_{n}=\sum1/n^{2} converge (pois p=2>1). Portanto, por comparação de limite, a série \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-4}
também converge.

Resposta

A série converge.

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