Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{2}e^{-n}.
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de série, e vamos usar o teste da razão (que compara termos consecutivos) para decidir se a série converge.

Passo 2

Seja
a_{n} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{2}e^{-n}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\bigl(1+\frac{1}{n+1}\bigr)^{2}e^{-(n+1)}}{\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{2}e^{-n}} = \Bigl(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\Bigr)^{2}\,e^{-1}.

Passo 3

Analisamos o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\Bigr)^{2}\,e^{-1} = \Bigl(\frac{1+0}{1+0}\Bigr)^{2}e^{-1} = e^{-1}.
Como e^{-1}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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