Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n+3}{n}\right);

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\Bigl(\frac{n+3}{n}\Bigr).
O conteúdo principal aqui é séries numéricas com termos que permitem “telescopar” a soma, além de reconhecer comportamento assintótico de \ln(1+x).

Passo 2

Repare que cada termo pode ser escrito como diferença de logaritmos:
\ln\!\Bigl(\frac{n+3}{n}\Bigr) = \ln(n+3) - \ln(n).
Isso sugere que a soma parcial até N pode cancelar termos.

Passo 3

Escrevendo a soma parcial S_N:
S_N = \sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n+3)-\ln(n)\bigr] = \bigl[\ln4+\ln5+\cdots+\ln(N+3)\bigr] - \bigl[\ln1+\ln2+\cdots+\ln N\bigr].
Agrupando em produto dentro do logaritmo,
S_N = \ln\Bigl(\frac{4\cdot5\cdots(N+3)}{1\cdot2\cdots N}\Bigr) = \ln\Bigl(\frac{(N+3)!}{3!\,N!}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{(N+1)(N+2)(N+3)}{6}\Bigr).

Passo 4

Agora avaliamos o limite de S_N quando N\to\infty:
S_N = \ln\bigl((N+1)(N+2)(N+3)\bigr) - \ln(6).
Para N grande, \ln\bigl((N+1)(N+2)(N+3)\bigr)\approx 3\ln N\to+\infty. Logo
\lim_{N\to\infty}S_N = +\infty,
ou seja, a soma parcial cresce sem limite.

Resposta

A série diverge (mais precisamente, seus somatórios parciais tendem a +\infty).

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