Determine se as séries convergem.
\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{3^{n}}{5^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{3^{n}}{5^{n}}.
Este é um problema de séries numéricas, onde vamos usar o reconhecimento de séries geométricas e o critério de convergência para elas.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser reescrito como
(-1)^{n}\,\frac{3^{n}}{5^{n}} =\Bigl(-\frac{3}{5}\Bigr)^{n}.
Logo, a série é exatamente uma série geométrica com razão
r=-\frac{3}{5}
e termo inicial a_{0}=1.

Passo 3

Para uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}r^{n} sabemos que ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui
\bigl\lvert -\tfrac{3}{5}\bigr\rvert=\tfrac{3}{5}<1,
então a série converge. Além disso, como \lvert r\rvert<1, a convergência é absoluta.

Passo 4

Podemos até encontrar a soma da série usando a fórmula
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Substituindo r=-\tfrac{3}{5}, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{3}{5}\Bigr)^{n} =\frac{1}{1-(-\tfrac{3}{5})} =\frac{1}{1+\tfrac{3}{5}} =\frac{1}{\tfrac{8}{5}} =\tfrac{5}{8}.

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é \tfrac{5}{8}.

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