Explique porque as sequintes séries são divergentes:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{2}}{2 n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}
é divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o critério necessário de convergência (termo geral tende a zero).

Passo 2

O termo geral da série é
a_{n}=\frac{n^{2}}{2\,n^{2}+1}.
Para aplicar o critério necessário, precisamos calcular \lim_{n\to\infty}a_{n}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos
a_{n} =\frac{n^{2}}{2\,n^{2}+1} =\frac{1}{2 + \frac{1}{n^{2}}}.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{1}{2+0} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Pelo critério do termo geral, se a série \sum a_{n} convergisse, então a_{n}\to0. Aqui vimos que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\tfrac12\neq0,
logo a série não converge.

Resposta

A série diverge porque o termo geral não tende a zero, tendo
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}=\tfrac12\neq0.

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