Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty (2 n)^n(5 n+3 n^-1)^n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty(2n)^n(5n+3n^-1)^n
converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries pelo Critério da raiz, e vamos precisar calcular o limite da enésima raiz do termo geral.

Passo 2

O termo geral é an=(2n)^n(5n+3n^-1)^n. Pelo Critério da raiz, consideramos raiz[n]an e temos:
raiz[n]an=2n5n+3n^-1

Passo 3

Para avaliar o limite, simplificamos 2n5n+3n^-1=2n^25n^2+3. Logo,
limntoinftyraiz[n]an=limntoinfty2n^25n^2+3=25

Passo 4

Como esse limite L=tfrac25<1, o Critério da raiz garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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