Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{n^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série de termos positivos
sumn=1^infty 2nn^4+1
é convergente ou divergente. Como se trata de uma série de termos positivos, podemos usar um teste de comparação com uma p-série.

Passo 2

Para grandes n temos
n^4+1 >= n^4,
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0 < 2nn^4+1 <= 2nn^4 = 2n^3
Mas sumn=1^infty2n^3 é uma p-série com p=3>1, que sabemos ser convergente.

Passo 3

Pelo teste de comparação direta, como
0 <= 2nn^4+1 <= 2n^3
e sum2/n^3 converge, concluímos que
sumn=1^infty 2nn^4+1
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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