Determine se a série converge ou diverge.
sumn-1^infty(-1)^n+1 n^2 2^nn!

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n+1,n^2,2^nn!
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para a série de termos positivos (para verificar convergência absoluta) e a noção de que, uma vez que uma série converge absolutamente, ela também converge.

Passo 2

Definimos o termo geral positivo
an = n^2,2^nn!,
de modo que nossa série original é sum(-1)^n+1an. Para ver se ela converge absolutamente, analisamos a série
sumn=1^inftyan.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a sum an:
L = limntoinftyan+1an = limntoinfty (n+1)^2,2^n+1/(n+1)!n^2,2^n/n! = limntoinfty2,(n+1)^2(n+1),n^2 = limntoinfty2l(1n + 1n^2r) = 0
Como L=0<1, a série sum an converge. Logo a série original converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos que a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1an converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (na verdade converge absolutamente).

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